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L'infini est-il un concept valide ?

Faisant couler beaucoup d'encre dans beaucoup de domaines, l’infini ne serait-il pas finalement un concept un peu dénué de sens tel que généralement décrit ? Peut-être même dénué d'utilité.

Bonjour à tous ici Nicolas. Tout d'abord désolé de l'absence de ces deux dernières semaines, je suis de retour d'un voyage en Polynésie qui à été assez accaparant. Aujourd'hui nous allons parler d'un concept qui donne du fil à retordre aussi bien aux mathématiciens qu'aux philosophes ou même aux physiciens : l'infini. Alors comme toujours nous allons biensûr aborder tout ça du point de vue de la philosophie pratique.

L'infini à en réalité à mon sens plusieurs définitions mais ici on va le prendre pour commencer au pied de la lettre, quelque-chose qui, pour simplifier un peu, n'a pas de bornes, pas de fin. Dans l'espace, dans le temps, dans n'importe-quelle dimension ou même pourquoi pas toutes les dimensions. C'est un concept principalement mathématique biensûr mais la question se pose de l'utilité de ce concept. Nous utilisons les mathématiques pour comprendre la nature, comme outil. L'infini doit donc représenter quelque-chose de concret pour être vraiment utile. Le concept doit avoir son pendant réel. Certaines personnes pensent que la réalité est en fait fondamentalement mathématique et non que les mathématiques représentent la réalité. Peu importe ici, nous ne rentrerons pas dans le débat car les conséquences pour le concept de l'infini sont les mêmes. Que les mathématiques nous aident à comprendre la réalité ou la définissent, soit l'infini à un sens soit non, soit l'infini existe dans la réalité soit non. Et pour l'infini, c'est pas gagné.

Imaginez un singe qui tape sur un clavier, au hasard hein ça reste un singe.. mais imaginez qu'il soit un peu spécial.. immortel et incapable de se lasser du clavier. Donnez à notre singe une infinité de temps, et de bananes, et voilà vous obtiendrez un jour ou l'autre la totalité des oeuvres de Molière, parfaitement tapées, complètement au hasard. Mieux encore, vous l'obtiendrez une infinité de fois. Et oui, le singe ne s'arrête jamais et finira forcément par répéter l'exploit, encore.. et encore. Ça vous paraît peut-être un peu fada mais c'est pas tout.

Avec suffisamment de temps, et l'infini c'est long, la même chose peut aussi arriver avec un orage où les perturbations magnétiques réécrivent les données sur un disque dur. Rebelote, du Molière à gogo, une infinité de fois. D'ailleurs pas que Molière, mais aussi l'ensemble de toute ce qui à été écrit par l'humanité, dans l'ordre et sans une faute de frappe.

Alors on peut se demander si tout ça est vraiment probable. Un peu fou et nous n'avons pas de singes immortels ou d'orages qui durent indéfiniment. Sauf que peut-être que si. Après tout si l'univers est infini, et c'est bien le cas pour que quelque-chose qu'il contienne le soit.. oui si une partie du contenu est infini, le contenant l’est forcément.. si l'univers est infini donc, les chances d'y trouver un singe ou un orage conforme à notre définition augmentent drastiquement. Infini ou pas, on ne pourra pas trouver dans l'univers quoi que ce soit d'illogique, d'impossible. Pas de cercles carrés donc mais un singe immortel pourquoi pas.

D'ailleurs un univers infini peut contenir une infinité de singes immortels, une infinité d'orages permanents, une infinité de Nicolas podcasters et même une infinité de vous qui écoutez. Dans un tel univers, c'est potentiellement tout ce qui n'est pas impossible qui se répète à l'infini. Une infinité de Nicolas sur des planètes en tous points semblables à la nôtre. De même qu'une infinité de planètes, là maintenant, comme la nôtre l'était il y a dix minutes ou comme elle le sera dans dix minutes, un peu ou très différentes. Une infinité de planètes où la cure pour la perte de cheveux à déjà été inventée. C'est con je suis pas sur la bonne. Mais c'est pas grave car une infinité de moi y sont eux.

Bien-sûr dans un univers infini, tout ce qui est possible n'est pas nécessairement. Il se pourrait très bien que l'univers soit rempli de vide, infiniment, au delà de notre sphère de Hubble, la limite théorique de notre observation et au delà de laquelle on ne pourra jamais rien voir. Donc finalement que l'univers soit infini ou non ne change pas grand chose, c'est potentiellement ahurissant mais pas forcément. C'est d'ailleurs l'un des problèmes de la notion d'infini, mais on y reviendra après un petit détour.

Les implications de l'infini nous paraissent souvent délirantes. Le singe qui tape tout Molière c'est quand-même gratiné. Et pourtant c'est logique. Alors attention je ne suis pas en train de dire qu'il faut rejeter ce que notre intuition ne valide pas. Pendant longtemps il était évident qu'une machine ne pourrait jamais voler et pourtant. Non ce que je dit en revanche c'est que la charge de la preuve est d'autant plus du côté de ceux qui avancent une thèse à mesure que celle-ci viole nos connaissances actuelles. Ils ont peut-être raison, il est peut-être possible de faire voler une machine, mais c'est à eux de le prouver et non à nous de prouver le contraire. La fusion à froid est peut-être possible mais c'est à démontrer et non à accepter à priori. Pour l'infini c'est pareil, étant donné les implications toutes plus folles les unes que les autres quelque-soit le sujet concerné, il serait intéressant d'en prouver l'existence et non de la postuler.

Le postulat qui paraît crédible je pense c'est que l'infini n'existe pas. Ou plutôt que rien d'infini n'existe. Nous n'avons jamais rien vu d'infini, ce qui n'invalide pas le concept pour le moment, mais ne le valide certainement pas non-plus. Et en la présence de phénomènes tous finis, on ne peut qu'espérer la présence d'un phénomène infini sans toutefois pouvoir compter dessus. Je ne vais pas aller plus loin dans le problème de l'induction, je ferais sûrement un épisode sur le sujet le moment venu.

Je vais par contre simplement remarquer que le concept de l'infini est par définition improuvable. C'est dommage mais c'est comme ça. Imaginez une route, vous commencez à rouler dessus puis les années passent.. une, deux, dix, cent. Toujours pas de fin. La route est-elle infinie ? Pas nécessairement. Une année de plus et c'est peut-être le panneau “en construction”. La seule manière de pouvoir proclamer quelque-chose où un phénomène infini, c'est d'arriver à le voir en entier, ce qui par définition n'est pas possible. Soit on en voit le bout et il est fini, soit en voit pas encore le bout et il sera peut-être fini un peu plus loin ou un peu plus tard.

On ne peut d'ailleurs pas vraiment comprendre quelque-chose d'infini ou en parler vraiment. Imaginez une fourmie qui après avoir marché pendant quelques jours dans le désert s'estime maintenant confiante et proclame la terre comme un vaste désert sans fin. En réalité le désert s'arrête, interrompu par des forêts, des océans, reprend, s'interrompt de nouveau, devient froid, il devient tundra etc. La fourmie ne peut pas parler avec plus d'autorité de la terre que nous de l'univers.. et encore moins de l'infini. L'infini c'est grand et ça dure longtemps. Les lois de la physique changent peut-être suivant les endroits ou les époques, sur des échelles incompréhensibles pour nous, ou peut-être pas. On n'en sait rien, on ne peut pas extrapoler avec certitude et pire encore, sans impossibilité logique, on ne pourra jamais le savoir.

Et donc parler de quelque-chose d'infini c'est en réalité parler de quelque-chose de fini et ignorer tout le reste. C'est donc ne jamais parler de l'infini, que ce concept existe en réalité ou non. Parler de quelque-chose d'infini en tant que tel, c'est décrire seulement la partie infiniment petite de ce quelque-chose qu'on peut observer, c'est être infiniment hors sujet. On ne peut parler intelligemment de l'infini. Autant ne pas en parler du tout et rester sur ce dont on peut parler, les choses finies. La fourmie ferait bien de parler de son bout de désert mais pas de la terre.

Mais bon restons un peu quand-même sur l'infini puisque c'est le thème d'aujourd'hui et puis aussi et surtout parce qu'on va l'achever gentiment. C'est un peu comme les films de zombies il faut bien finir le travail sinon ils reviennent. Et puis jusqu'à présent on s'est contentés de montrer que l'infini est un concept farfelu au mieux.. improuvable et même sans grand intérêt. Seulement on peut faire mieux et démontrer l'absurdité du concept. Et cette absurdité prend la forme d'une, attention, infinité de paradoxes. Bon OK, probablement pas d'une infinité justement mais en tout cas d'un bon paquet.

Pour commencer nous pourrions parler des suites de Cantor, ce mathématicien qui, pour simplifier, compare les ensembles de nombres, les entiers et les réels par exemple et en conclut que certaines infinités sont plus grandes que d'autres. C'est vrai, si on prend tous les nombres entiers, un ensemble infini puisqu'on a toujours de nouveaux nombres entiers à ajouter, et qu'on les compte, ils seront moins nombreux que tous les nombres réels. Et oui, rien qu'entre 0 et 1 il y a une infinité de nombres réels et seulement deux entiers. Rien qu'ici la sonnette d'alarme devrait avoir été tirée. Ça sonne faux. Et bien sûr ça l'est.

Je ne vais pas essayer de démontrer que deux infinités ont la même taille, ça serait commettre la même erreur, celle de considérer qu'il est possible de comparer des ensembles infinis. Ou même d'en avoir un seul. Les nombres n'existent que dans la tête de certains êtres vivants, et seulement en nombre finis. Nous ne pouvons pas plus nous représenter l'infini qu'un cercle carré. Tout au plus nous imaginons une grosses suite de nombres, mais en aucun cas une suite infinie. Nous ne pouvons comparer les deux ensembles puisqu'avant de faire une comparaison encore faut-il pouvoir les examiner, et il nous faudrait une infinité de temps pour les réunir, dans les deux cas.

Et voici notre paradoxe, bien qu'il paraisse logique de considérer la totalité des nombre réels comme plus grande que celle des nombres entiers, ils prennent tous deux le même temps à réunir. Vous ne finirez pas à compter les nombres entiers avant les nombres réels bien que l'un soit infiniment plus petit que l'autre. Deux choses infinies ont la même taille en pratique même s'il semble que ça ne soit pas le cas en théorie. Une explication plus simple est de considérer l'infini comme une notion idéale qui n'existe pas en réalité et ne peut que représenter des quantités énormissimes et non pas vraiment infinies. C'est d'ailleurs un courant dans le monde des mathématiques, même s'il s'agit d'un courant minoritaire.

Puisque nous explorons l'absurde de l'infini, et allons-y gentiment crescendo, nous avons aussi le paradoxe de l'hôtel de Hilbert. Un hôtel avec un nombre infini de chambres qui affiche maintenant complet après avoir reçu un nombre infini de clients. La question est de savoir s'il serait possible d'accueillir un client de plus et la réponse est, sans surprise, oui, bien sûr mais entrez donc mon bon monsieur, bienvenue à l'hôtel de l'absurde. Et oui il suffit de demander à tous les clients d'aller dans la chambre d'après, et voilà la première chambre est libre, et le dernier client est lui aussi capable de trouver une chambre.. et oui, dans l'infini, l'infini + 1 c'est toujours l'infini. Mieux encore, on peut aussi accueillir un nombre infini de nouveaux clients. Il suffit ici de dire à tout le monde d'aller dans la chambre portant le numéro de celle qu'il occupe multiplié par deux. Et voilà les anciens clients dans les chiffres pairs et les nouveaux dans les chiffres impairs. Il y a bien une infinité des deux.

Seulement voilà bon courage pour la logistique. Rien que pour communiquer l'info à tous les clients, il faudrait à une infinité d'employés une infinité de temps pour appeler tous les clients de l'hôtel et enregistrer les nouveaux. C'est à dire que nous n'atteignons en réalité jamais le résultat. Ils ont peut-être commencé le travail en 1924, lorsque Hilbert a proposé son histoire, mais ils y sont toujours.. et pour toujours. Et oui encore un gros fail. L'énoncé est trompeur. Comme dans les ensembles de Cantor, on nous demande implicitement de faire l'impossible mais aussi d'ignorer que c'est le cas. On passe sous silence une partie du travail, qui contredirait notre conclusion. Il n'est déjà pas possible de remplir l'hôtel, et encore moins d'ajouter un client après. Notre première étape requiert une infinité de temps avant même de pouvoir considérer la question.. qui ne se pose donc jamais.

OK, soyons encore plus démonstratifs de la bêtise du truc. Imaginez un vaisseau spatial voyageant à une vitesse infinie, ça ne peut pas exister selon nos connaissances actuelles mais l'infini non-plus alors au point où on en est.. ce vaisseau, malgré sa vitesse, n'atteindra jamais le bout de l'univers. Pourtant il va à l'infini par heure. Capable d'arriver instantanément en tout point de l'univers. Pourtant pas au bout. Il n'y a pas de bout me direz-vous. Peut-importe de répondre le capitaine du navire, il peut être n'importe-où dans l'univers instantanément. Oui mais non. Pas là. Il peut mais il peut pas. N'importe où mais pas n'importe-où.

C'est même pire que ça. L'infini si vous y réfléchissez c'est aussi l'idée complètement incohérente que dans un tel univers rien n'existe après le milieu. Et oui, car peu importe où on se trouve sur une ligne infinie, on est toujours certain d'être avant le milieu. Attention, n'imaginez pas une ligne très grande non non, c'est une ligne qui à peut-être un bout, mais pas deux. Un début mais pas de fin. Oui ça paraît un peu fou mais n'oubliez pas c'est l'infini dont on parle et tout est possible. Et sur cette ligne sans fin, on est toujours certain d'avoir plus de ligne devant nous que derrière (en imaginant que le début de la ligne soit derrière). Ça veut aussi dire que n'importe quel point de la ligne est avant son milieu, ou même avant les premier 10% ou 0.001%. Mais si la ligne n'a pas de point après le milieu comment peut-elle continuer ? Comment peut-elle avoir un milieu d'ailleurs ? Il n'y a aucun point de la ligne après le milieu mais pour avoir un milieu il faut des points après. Et on ne peut pas placer le milieu avant un point donné tout en conservant la propriété infinie de la ligne, car si le milieu se trouve quelque-part de précis alors la ligne à une taille précise aussi et n'est plus infinie. Mais si elle est infinie tous ses points sont avant la majorité des points, ce qui n'est bien sûr logiquement pas possible. Le concept se contredit lui-même. L'infini ne peut exister, même en théorie.

C'est maintenant que j'aimerais introduire ma deuxième définition de l'infini, celle d'un processus qui ne se termine pas. Un processus sans fin. Pour reprendre notre exemple de la ligne, celle-ci est bien finie, elle a à tout instant une taille précise mais ne cesse de s'agrandir. Et là plus de problème. Ce type d'infini permet effectivement de résoudre tous les paradoxes et d'éviter toutes les absurdités. Une infinité dite “potentielle” et non réalisée. Néanmoins il n'y a toujours pas possibilité de prouver l'existence d'un tel processus.

L'univers a peut-être toujours existé, en incluant dans la définition d'univers les cycles ou autre qui existaient avant le big bang, mais peut-être pas. Il existera peut-être toujours, sous une forme ou une autre, mais peut-être pas. On ne peut pas le savoir, et extrapoler à partir des observations du présent n'est qu'un pari et non une certitude. Rien ne garantit par exemple que les lois de la physique soient éternelles dans leur forme actuelle.

Si nous retournons brièvement sur notre exemple du singe, avant de taper les oeuvres de Molière il tapait n'importe quoi, et de nouveau après.. ou les oeuvres de Shakespeare ou de Tolkien. Tout ça par hasard. Avec suffisamment de temps, il est possible de tomber sur une série chanceuse où tout semble ordonné pendant un moment. Il est parfaitement possible que les lois de la physique fluctuent régulièrement, peut-être de manière abrupte, peut-être pas, mais que par chance elles soient stables pour l'instant et depuis très longtemps. Le seul moyen de s'assurer qu'un processus ne se terminera pas c'est d'être là jusqu'au bout, ce qui bien sûr n'est pas possible.

C'est pourquoi l'infini n'est en fait qu'une approximation, un idéal ou un raccourci. L'intérêt réside dans cette idée que quelque-chose est si vaste, ou un processus si long, qu'il semble impossible d'en voir la fin. Et là oui, l'infini en tant que concept prend tout son sens.

Mais tel qu'imaginé couramment, en tant qu'infini réalisé, peut-être même faisant partie de la réalité, le concept de l'infini, ni prouvable ni compréhensible, n'a pas d'intérêt. La philosophie pratique ne s'y intéresse finalement qu'assez longtemps pour le rejeter. .. et prouver qu'il n'a en réalité pas de sens, qu'il s'agit d'un concept illogique, impossible même en théorie. Limitons nous aux infinies potentielles, qui elles ont tout leur sens et une certaine utilité.

Merci d'avoir écouté cet épisode un peu geek, l'infini est un concept qui fait couler beaucoup d'encre pour pas grand-chose, j'espère avoir pu montrer ici qu'il est important de ne pas le considérer comme.. important justement. La philosophie pratique c'est aussi parfois passer un peu de temps à trier ce qui ne devrait justement plus nous en prendre à l'avenir. Et ne plus angoisser face à l'infini et ses paradoxes c'est aussi aborder de manière plus sereine les questions du très long ou du très grand. Et nous en verrons quelques-unes à l'avenir. D'ici là je vous dit à très très bientôt pour un épisode au format un peu différent. Ciao.

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